IEEE 754 example

上篇文章（传送门）大家可能看得晕晕乎乎的，这篇就来举一些例子来帮助大家更直观的理解 IEEE 754 标准。

本文的举例对象仍然是单精确度浮点数（32位）。

首先回顾一下上篇最后的总结：

形式	指数	小数部分
零	全为 0	全为 0
非规约形式	全为 0	大于 0 小于 1
规约形式	1 到 2ᵉ - 2（不全为 0 也不全为 1）	大于等于 1 小于 2
无穷	2ᵉ - 1（全为 1）	全为 0
NaN	2ᵉ - 1（全为 1）	非 0

non-number

先看那三个简单且很好理解的特殊值：

1. +0：0 00000000 00000000000000000000000

2. -0：1 00000000 00000000000000000000000

3. +infinity：0 11111111 00000000000000000000000

4. -infinity：1 11111111 00000000000000000000000

5. NaN：s 11111111 fraction

对于 NaN 来说，s 可 0 可 1，fraction 不全为 0 即可

normal number

规约形式的浮点数无疑是日常使用最多的。

例：将 -36.35 转为单精度二进制

1. 整数部分转二进制

36₁₀ = (00100100)₂

2. 小数部分转二进制

之前的文章说过小数怎么转二进制，再复习一下吧：

• 小数部分乘以 2，取结果的整数部分，直到小数部分为 0 或者位数已达到所要求的精度为止
  • 0.35 x 2 = 0.7，整数部分为 0
  • 0.7 x 2 = 1.4，整数部分为 1
  • 0.4 x 2 = 0.8，整数部分为 0
  • 0.8 x 2 = 1.6，整数部分为 1
  • 0.6 x 2 = 1.2，整数部分为 1
  • 0.2 x 2 = 0.4，整数部分为 0
  • 0.4 x 2 = 0.8，从这里开始接下来无限循环 0 1 1 0 …

所以 0.35₁₀ = (01011001100110011000110…)₂

3. 计算阶码

整数二进制.小数二进制 = 00100100.01011001100110011000110

移动小数点，使二进制变成 1.xxx * 2ⁿ 的形式：

1.0010001011001100110011000110 * 2⁵

指数的实际值是 5，单精度浮点数的固定偏移值为 127，所以指数域编码值为 5 + 127 = 132。

(132)₁₀ = (10000100)₂，所以阶码为 10000100

4. 单精确度浮点数的尾数部分为 23 位，所以取 1.xxx 小数点后 23 位得到尾数部分为：

00100010110011001100110

5. 负数符号位为 1，所以 -36.35 的单精度二进制表示为：

1 10000100 00100010110011001100110

例：将 00111001001010111110100000000000 转为小数

1. 这是一个正数，是一个规约形式的浮点数，先分为三段

0 01110010 01010111110100000000000

2. 计算指数的实际值

(01110010)₂ = 114₁₀，减去单精度浮点数的固定偏移值 127 得指数的实际值为 114 - 127 = -13

3. 在尾数前加上隐藏的整数 1，然后转为 1.xxx * 2ⁿ 的形式：

1.01010111110100000000000 * 2⁻¹³

指数实际值为负数，所以整数部分为 0，小数部分二进制为：

0.000000000000101010111110100000000000

4. 计算小数

1 * 2⁻¹³ + 1 * 2⁻¹⁵ + 1 * 2⁻¹⁷ + 1 * 2⁻¹⁹ + 1 * 2⁻²⁰ + 1 * 2⁻²¹ + 1 * 2⁻²² + 1 * 2⁻²³ + 1 * 2⁻²⁵
= 0.000163942575455

subnormal number

非规约形式的浮点数转换方法其实也很简单。因为非规约形式的浮点数整数部分为 0，所以非规约形式的浮点数转换就相当于上边的小数部分转二进制。

从上篇文章我们知道，非规约形式的浮点数指数实际值为 -126，即最终转为 0.xxx * 2⁻¹²⁶ 的形式，也就是说按照小数部分转二进制的方法，当出现第 127 个数时，这个数就作为尾数的第一个数，后边的依次补上，直到小数部分为 0 或者位数已达到所要求的精度为止。这个就不举例了。

同理，将非规约形式的浮点数转为小数将更简单。

例：将 00000000001000000000000000000000 转为小数

1. 这是一个正数，是一个非规约形式的浮点数，先分为三段

0 00000000 01000000000000000000000

2. 计算小数

2⁻¹²⁸
≈ 2.938735877056 * 10⁻³⁹

怎么样，对于 IEEE 754 的理解是不是更深刻了些？

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